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Lo decible & lo indecible en Mecánica Cuántica (II)
Diálogos prohibidos
4.205 visitas desde el 20/12/2011
Pedro Naranjo Pérez
Cuántica, Filosofía, Física

"No me gusta, y lamento haber tenido algo que ver alguna vez con esto." Erwin Schrödinger sobre los 'saltos cuánticos'.


Éste es el segundo ensayo sobre los aspectos conceptuales de la mecánica cuántica. Abordaremos la cuestión de las famosas relaciones de indeterminación, con especial atención a los casos particulares involucrando 'posición' y 'momento', por un lado, y 'tiempo' y 'energía', por otro. El objetivo es desmitificar ciertas creencias relacionadas con las medidas de tales magnitudes.


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Relaciones de Indeterminación (I): posición y momento

Aibas: Sigamos pensando en nuestro electrón en el átomo de hidrógeno. Hemos concluído que su posición tan sólo adquiere significado en términos probabilísticos. Bien, ¿qué le pasa a su velocidad, por ejemplo?

Ounegni: ¡Ya la hemos liado! Si dices que la 'trayectoria' del electrón no tiene sentido, ¿quién sabe qué le ocurre a su velocidad? Estoy confuso, … ¡perdido!

Ocitpécse: Amigo mío, ¡no seas tan dramático! Supongo, siguiendo el razonamiento esgrimido por nuestra querida Aibas, que el concepto de 'velocidad' tampoco disfruta del significado que tiene en la vida cotidiana. Me atrevería a afirmar que sólo es lícito hablar de la probabilidad que, en el instante t, el electrón posea una velocidad dada.

Aibas: Perfecto razonamiento, querido Ocitpécse. En efecto, al no existir la noción de 'trayectoria' en el mundo atómico, tampoco se puede hablar de la velocidad instantánea. Análogamente al caso de la posición, al referirnos a nuestro electrón hemos de considerar la combinación (superposición) de todas las velocidades posibles que pueda adquirir en el átomo. De nuevo, cada coeficiente en esta superposición mide cuán probable es la velocidad correspondiente a ese término.
Hasta aquí, una vez liberados de ciertos prejuicios clásicos, todo es similar al caso de la posición.

Ounegni: Tú lo has dicho, querida Aibas, todo igual … ¡de confuso!

Aibas: Ahora bien, amigos, consideremos que queremos medir tanto la posición como la velocidad del electrón en el mismo instante t1.

Ounegni: A ver, tenemos 'posición = confusión', 'velocidad = lío'. Por tanto, 'posición + velocidad = … ¡caos!'

Ocitpécse: Pero amigo Ounegni, deja esa actitud victimista. Sólo estamos discutiendo sobre los aspectos conceptuales que requieren una revisión al aplicarlos a un dominio tan alejado del mundo cotidiano como es el átomo. Yo mismo experimento cierta confusión al lidiar con estos asuntos, pero los afronto con tesón.

Aibas: Y mente abierta, amigos míos. Pues bien, resulta que si tratamos de medir, en el instante t, la posición de nuestro electrón y, en ese mismo instante, su velocidad, nos encontramos con el inquietante hecho que no es posible.

Ounegni: Esperad que digiera esto, amigos. No. No tiene ningún sentido. No sólo es necesario introducir ideas probabilísticas, sino que, además, la Naturaleza juega al gato y al ratón con nosotros.
Tomad una pelota de béisbol. Cuando el bateador la golpea es posible, por un lado, saber su posición; basta con observarla. Por su parte, bastaría estimar la distancia recorrida y el tiempo invertido para obtener su velocidad. Física de secundaria, amigos míos.

Ocitpécse: Vuelves a caer en el mismo error, querido Ounegni. Sigues aplicando ideas clásicas, cotidianas, al mundo atómico. Sin embargo, hay algo que me incomoda, querida Aibas.

Aibas: Dime, pues.

Ocitpécse: Si la posición del electrón viene descrita como la superposición de todas las posiciones posibles dentro del átomo, sieno únicamente la probabilidad de estar en una determinada posición en un instante dado lo que goza de sentido, y hacemos lo propio para la velocidad, me pregunto si son compatibles estas dos superposiciones, quiero decir, si podemos saber que tras medir la posición, digamos, estamos midiendo a continuación la velocidad del mismo electrón.

Ounegni: Ay amigo Ocitpécse, veo que tanta reflexión te está pasando factura. Empiezas a desvariar. ¿Qué es eso de saber si es el 'mismo' electrón? Vamos, que estás dudando que la pelota de béisbol no es la misma cuando la observo para determinar su posición que cuando termino de hacer el calculito para extraer su velocidad. ¿Es eso?

Aibas: Amigo Ocitpécse, muy buena objeción. De hecho, conviene que aclaremos qué se entiende por 'no poder medir tanto la posición como la velocidad del electrón simultáneamente'.
Para empezar, es preciso recordar que, en mecánica cuántica, las magnitudes (llamadas también observables), vienen descritas por entidades matemáticas denominadas operadores. Se dice que dos observables, A, B, son compatibles si se pueden medir ambos en el mismo estado cuántico del sistema físico, es decir, si tras una medida de A, es posible medir B sin necesidad de preparar de nuevo el sistema para ello. Pues bien, existe un teorema, central en la teoría cuántica, que establece que dos observables son compatibles si el conmutador de sus respectivos operadores es nulo2. Más aún, existe una conexión entre la 'compatibilidad' de dos observables y la 'precisión' con la que pueden medirse. En aras de la exposición, baste decir que la posición y la velocidad no pueden medirse en el mismo instante porque sus respectivos operadores no conmutan, esto es, estamos ante dos observables incompatibles, de modo que no podemos medir tales observables para el mismo estado físico del sistema.

Ocitpécse: Amiga Aibas, vas muy ligera.

Aibas: Lo diré en otras palabras. Sabido es por todos que cualquier medida acarrea cierta dispersión. Matemáticamente, una manera de cuantificar dicha incertidumbre es mediante la desviación estándar, familiar de nuestro curso de estadística del instituto. En concreto, la desviación estándar de una magnitud, z, mide la dispersión del conjunto de valores de z respecto del valor medio, z̄, tras un número significativo de medidas, N >> 1. Pues bien, se tiene lo siguiente:

Δx Δp ≥ ½h, (1)

donde Δx, Δp son (el análogo cuántico de) las desviaciones estándares asociadas a la posición, x, y al momento lineal, p, respectivamente, y h es la famosa constante de Planck, cuyo valor es muy pequeño3. Recordando que la posición y el momento lineal son observables incompatibles, la lectura de (1) es la siguiente:

  1. Medimos la posición del electrón en el sistema dado.
  2. Realizamos la misma operación en N >> 1 copias idealmente idénticas del estado.
  3. Estimamos Δx.
  4. Preparamos el sistema en otro estado para medir el momento lineal.
  5. Procedemos análogamente a (2) y (3).


La expresión (1) nos dice que el producto de las desviaciones estándares de la posición y el momento lineal está acotado inferiormente, lo que significa que no es posible medir ambos observables con precisión arbitraria ni siquiera para estados distintos.
Ahora bien, enfatizar que (1) no afirma que la medida del momento lineal del electrón 'perturba' su posición, como se comenta muy alegremente. Las medidas de estos dos observables se realizan sobre estados distintos, como hemos dicho.

Ocitpécse: Vaya, así que no existe perturbación en las medidas. Con frecuencia había leído tal cosa en la literatura.

Aibas: Por desgracia, es un error muy común en las exposiciones de las relaciones de indeterminación.

Ounegni: A mí, que haya perturbación o no en la medida me deja igual. Hace tiempo que estoy completamente perdido.

Aibas: Amigos, reflexión crítica y mente abierta. Tan sólo se requiere eso.
Permitidme, antes de abordar otro caso típico de relaciones de indeterminación, enfatizar una cuestión que no recibe, desafortunadamente, la atención que merece.
La expresión, omitida en aras de la sencillez, que liga las desviaciones estándares de dos observables, A, B, con el conmutador de sus respectivos operadores, Â, , depende, en general, del estado del sistema. En particular, es posible que el conmutador dado se anule para un cierto estado, ψ0, del sistema, pero no para el resto. En tal caso, el producto de las desviaciones estándares de los observables, medidos en dicho estado ψ0, puede, teóricamente, anularse, es decir, en dicho estado ψ0 las medidas de los observables pueden realizarse con precisión arbitraria4. El caso del momento angular, J, es un ejemplo representativo. Es posible, en principio, encontrar un estado del sistema en el que el conmutador de las componentes del momento angular en dos direcciones dadas, Jx, Jy, digamos, sea nulo, [Jx, Jy] = 0, de modo que, en ese estado particular, es posible medir Jx y Jy con precisión arbitraria, ΔJxΔJy ≥ 0.
Resulta que no existe tal estado en el que la posición y el momento lineal de un sistema sean compatibles, de modo que tenemos un límite fundamental sobre la precisión de las medidas de tales magnitudes (incluso para sistemas distintos).

Relaciones de Indeterminación (II): tiempo y energía

Ocitpécse: Me temo, querida Aibas, que no termino de entender la idea de 'observables incompatibles', al menos cuando se refieren a 'posición' y 'momento lineal'. Tengo constancia de la existencia de una relación análoga, pero mucho más intuitiva, si me lo permites.

Ounegni: ¿Intuitiva, dices? Creo que ese concepto no existe en vuestro vocabulario, amigos. La jerga económica me resulta infinitamente más asequible.

Aibas: Dime, querido Ocitpécse, esa relación a la que aludes.

Ocitpécse: Me refiero a la relación de indeterminación tiempo-energía, según la cual no es posible medir, con precisión arbitraria, la duración temporal y la energía de un sistema simultáneamente.

Aibas: Ya veo. Dime: ¿por qué te resulta más intuitiva esta relación que su análoga para posición y momento lineal?

Ocitpécse: Por lo siguiente. Déjame ilustrarlo con una fuente de emisión de fotones, por concretar.
Supongamos que nuestra fuente emite un haz de fotones de energía E. Consideremos que un receptor, ubicado a cierta distancia de la fuente, detecta dicho haz, Para ello, invierte un tiempo t en tal medida. Pues bien, la relación de indeterminación establece que la dispersión en la energía del haz, medida por el detector, y la indeterminación en la duración de dicha medida satisfacen

Δt ΔE ≥ ½h. (2)



Me resulta bastante natural asociar el lapso de tiempo requerido en la medida con la indeterminación en la energía del haz.

Ounegni: Vaya, querido Ocitpécse, por fin estamos de acuerdo en algo. De hecho, tu argumento me recuerda al ejemplo típico de la nota musical, donde (la incertidumbre en) su frecuencia satisface una expresión parecida. Amiga Aibas, ¿alguna objeción?

Aibas: Queridos amigos, me temo que estáis incurriendo en una falacia muy extendida en las discusiones sobre el significado de la teoría cuántica. Es más, querido Ocitpécse, tu justificación misma ofrece la semilla de su caída.

Ounegni: Pues me temo, amigo Ocitpécse, que nuestra querida Aibas tampoco va a dar tregua ahora.

Ocitpécse: Y bien, amiga Aibas, ¿cuál es el error?

Aibas: Muy simple, queridos amigos. Resulta que la variable temporal del ejemplo, esto es, la duración de la medida, es un parámetro externo al sistema, el haz de fotones. Cierto es que vuestro haz puede venir caracterizado por una magnitud como la energía, pero la duración asociada a la medida de la misma es ajena al propio haz. Carece de sentido, pues, hablar de una relación entre las incertidumbres en las medidas de la energía del haz y de la duración de tal medida. Simplemente, no se refieren al mismo sistema. No existe restricción alguna.

Ounegni: Pero amiga Aibas, la misma objeción surge en el caso de la posición y el momento lineal. Tenemos incertidumbre en el 'tamaño' (localización espacial) y en su velocidad (momento lineal). ¿Cuál es la diferencia, pues?

Ocitpécse: La diferencia, amigo Ounegni, la acaba de expresar nuestra querida Aibas de manera cristalina. En el caso del haz de fotones, las variables 'tiempo' y 'energía' no se refieren al mismo sistema. Ésa es la falacia. De hecho, siguiendo nuestro razonamiento, bastaría considerar el tamaño del detector y el momento lineal (velocidad) del haz. Describiendo sistemas distintos, no habría motivo para esperar relación de indeterminación alguna para estas dos magnitudes. Es más, experimentalmente se constata que el tamaño de un detector y el momento lineal del haz que mide pueden tomar valores tales que δx δp << 1.

Aibas: En efecto, querido Ocitpécse. Has entendido la naturaleza del error.
No obstante, conviene puntualizar un importante matiz. Las relaciones de indeterminación se aplican a observables representados en mecánica cuántica por operadores. El 'tiempo', la 'duración' y magnitudes afines no satisfacen este requisito. No existe en la teoría cuántica ningún operador asociado al observable 'tiempo'. En esta teoría, el concepto de 'tiempo' sigue siendo una herencia de la física newtoniana clásica, donde desempeña un papel absoluto, externo, al sistema5. De modo que es absurdo hablar de una relación de indeterminación que involucre el concepto de 'tiempo'6.

1Estrictamente hablando, las medidas no se realizan en el mismo instante; siempre existe cierto lapso de tiempo. La idea es que las dos medidas se realizan lo 'suficientemente rápido' como para que el sistema no evolucione de manera alguna entre ambas medidas.

2Dados dos operadores, Â, , se define su conmutador como [Â, ] = Â - Â.

3Hemos pasado a la descripción, común en este contexto, de un sistema en términos de la posición y el momento lineal, no su velocidad. En física clásica, se define el momento lineal como p = mv, con m la masa del sistema y v su velocidad. Bien, simplemente tomamos p, junto con x, como variable independiente, quedando la velocidad fijada como v = p/m.

4Recuérdese, no obstante, la limitación instrumental para realizar medidas 'ideales'.

5Decimos 'sigue siendo', pues, como se recordará, también el 'espacio' goza de estatus absoluto en la física newtoniana y, sin embargo, éste último está asociado, como acabamos de discutir, con un operador en mecánica cuántica.

6Es posible elevar el concepto de 'tiempo' al rango de magnitud relacional, intrínseca al sistema, como se discute profusamente en la literatura. Esto no implica, sin embargo, la aparición de relaciones de indeterminación para el nuevo concepto de 'tiempo', pues, en una descripción relacional, el tiempo se define en términos de procesos, inherentes al propio sistema, que involucran, en última instancia, otras magnitudes más fundamentales del mismo.

Lecturas recomendadas

  • Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, J. S. Bell, Cambridge University Press (1ª Ed. 1988; 2ª Ed. 2004). Traducido al español como Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica, John S. Bell, Alianza Editorial (1990).
  • Quantum Theory: Concepts and Methods, Asher Peres, Kluwer Academic Publishers (1995).
  • Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations, Chris J. Isham, World Scientific Publishing Company (1995).

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